Giochi Risolti
Teoremi dimostrati, 40 scacchiere completamente risolte, 1 in calcolo, e congetture aperte sulla Dama Italiana con regole FID — da 3 a 9 righe.
La scacchiera 8×8×1 è PATTA?
La simmetria T della posizione iniziale suggerisce fortemente che 8×8×1 è patta. Tutti i 7 casi calcolati di scacchiere pari×pari×1 sono patte. 20 partite AI vs AI: 0 vittorie del Bianco.
Bound combinatorio: 342 miliardi di stati. Primo passo verso 8×8×3, la Dama Italiana classica.
n×4×1 pari: PATTA SEMPRE
Un programma semplice di 400 righe Python (zero AI, zero minimax) esegue la strategia costruttiva (sentinella + anti-collisione + contro-imboscata) e patta SEMPRE contro qualunque AI di qualunque potenza.
Testato da n=4 a n=30, qualunque spazio combinatorio. Funziona per n=100, n=1000, qualunque n pari ≥ 4.
n×3×1 dispari: il NERO VINCE sempre
Il Teorema della Prima Cattura dimostra che per ogni n dispari ≥ 3, il Nero cattura e promuove a dama al primo turno. La superiorità risultante (1 dama + vantaggio numerico) basta per vincere.
Verificato computazionalmente per n = 3, 5, 7, 9, 11 (fino a 271,9 milioni di stati). Vale per infinite scacchiere.
Teoremi Dimostrati
Risultati puramente matematici, validi per infinite dimensioni di scacchiera. Non richiedono calcolo esaustivo.
Teorema della Prima Cattura
Scacchiere n×3×1, n dispari ≥ 3
Enunciato. Sia n = 2k+1 con k ≥ 1. Nella posizione iniziale della scacchiera n×3×1 con regole FID, per ogni mossa legale del Bianco, esiste una cattura del Nero che: (1) cattura il pezzo bianco appena mosso, (2) atterra in riga 2 (ultima riga per il Nero), e (3) produce una promozione immediata a dama.
Poiché la cattura è obbligatoria (regola FID), il Nero deve catturare e promuovere al primo turno. Questo vale per tutte le scacchiere n×3×1 con n dispari, senza limiti.
Teorema della Mossa Sicura
Scacchiere n×3×1, n pari ≥ 4
Enunciato. Sia n = 2k con k ≥ 2. Nella posizione iniziale n×3×1, la mossa W(2, 1) → (1, 0) non consente alcuna cattura al Nero.
Lemma del Collo di Bottiglia
Struttura fondamentale di n×3×1
Per n dispari: ogni lato ha k+1 pezzi ma solo k caselle centrali. Collo di bottiglia strutturale.
Per n pari: k pezzi e k caselle centrali. Bilanciamento perfetto.
Teorema della Simmetria T
Scacchiere n×h×1, n pari ≥ 4, h pari ≥ 4 — PATTA UNIVERSALE
Enunciato. Per ogni n = 2k con k ≥ 2 e ogni h = 2ℓ con ℓ ≥ 2, la scacchiera n×h×1 con regole FID è una patta con gioco perfetto.
Copre infinite famiglie, inclusa la scacchiera 8×8×1 (la board della Dama Italiana classica con 1 fila di pezzi), che ha un bound di 342 miliardi di stati — dimostrata senza calcolo.
Nota di onestà scientifica
La strategia specchio pura σT ha un gap: quando i pezzi T-controparte convergono al centro della scacchiera, il primo a muovere cattura e lo specchio si rompe. Tuttavia: 7/7 casi calcolati sono patte, e 20 partite AI vs AI producono 0 vittorie del Bianco. La congettura rimane fortissimamente supportata.
Tutte le Scacchiere Risolte
40 configurazioni risolte esaustivamente, da 3 a 9 righe di altezza.
Vedi lo schema completo con tutte le configurazioni →
3 Righe
10 risolten dispari ≥ 3 → Nero vince | n pari ≥ 6 → Patta | Eccezione: n=4 Nero vince
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 2×3×1 | 1 vs 1 | 2 | ⚪ Bianco | |
| 3×3×1 | 2 vs 2 | 9 | ⚫ Nero | Zugzwang |
| 4×3×1 | 2 vs 2 | 123 | ⚫ Nero | |
| 5×3×1 | 3 vs 3 | 1.159 | ⚫ Nero | |
| 6×3×1 | 3 vs 3 | 11.576 | 🤝 Patta | |
| 7×3×1 | 4 vs 4 | 149.822 | ⚫ Nero | |
| 8×3×1 | 4 vs 4 | 816.565 | 🤝 Patta | |
| 9×3×1 | 5 vs 5 | 9,08M | ⚫ Nero | |
| 10×3×1 | 5 vs 5 | 46,8M | 🤝 Patta | |
| 11×3×1 | 6 vs 6 | 271,9M | ⚫ Nero | RocksDB |
4 Righe
4 risolteSolo n pari validi (dispari = pedine disuguali) | n pari ≥ 4 → Patta | Eccezione: n=2 Nero vince
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 2×4×1 | 1 vs 1 | 3 | ⚫ Nero | |
| 4×4×1 | 2 vs 2 | 2.800 | 🤝 Patta | |
| 6×4×1 | 3 vs 3 | 616.500 | 🤝 Patta | |
| 8×4×1 | 4 vs 4 | 96,3M | 🤝 Patta |
5 Righe (f=1)
6 risolten dispari ≥ 5 → Bianco vince | n pari ≥ 6 → Patta | n=3,4 Nero vince
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 2×5×1 | 1 vs 1 | 4 | ⚪ Bianco | |
| 3×5×1 | 2 vs 2 | 98 | ⚫ Nero | |
| 4×5×1 | 2 vs 2 | 9.900 | ⚫ Nero | |
| 5×5×1 | 3 vs 3 | 986.400 | ⚪ Bianco | |
| 6×5×1 | 3 vs 3 | 3,9M | 🤝 Patta | |
| 7×5×1 | 4 vs 4 | 309,6M | ⚪ Bianco | RocksDB |
5 Righe (f=2)(2 file di pedine)
2 risolteBianco vince confermato su 5×5×2
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 4×5×2 | 4 vs 4 | 227.400 | ⚫ Nero | |
| 5×5×2 | 5 vs 5 | 13,6M | ⚪ Bianco |
6 Righe (f=1)
4 risolteSolo n pari validi | n pari ≥ 6 → Patta | n=2,4 Nero vince
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 2×6×1 | 1 vs 1 | 5 | ⚫ Nero | |
| 4×6×1 | 2 vs 2 | 26.400 | ⚫ Nero | |
| 6×6×1 | 3 vs 3 | 15,4M | 🤝 Patta | |
| 8×6×1 | 4 vs 4 | 1,77B | 🤝 Patta |
6 Righe (f=2)(2 file di pedine)
1 risolten=4 Nero vince
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 4×6×2 | 4 vs 4 | 4,2M | ⚫ Nero |
7 Righe (f=1)
5 risolten=3,5 Nero vince | n=4,6 Patta | 7×7×1 in calcolo
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 2×7×1 | 1 vs 1 | 6 | ⚪ Bianco | |
| 3×7×1 | 2 vs 2 | 96 | ⚫ Nero | |
| 4×7×1 | 2 vs 2 | 54.700 | 🤝 Patta | |
| 5×7×1 | 3 vs 3 | 14,8M | ⚫ Nero | |
| 6×7×1 | 3 vs 3 | 46,4M | 🤝 Patta | |
| 7×7×1 | 4 vs 4 | ~584M | ⏳ In calcolo | In calcolo |
7 Righe (f=2)(2 file di pedine)
1 risolte4×7×2 Patta
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 4×7×2 | 4 vs 4 | 42,0M | 🤝 Patta |
8 Righe (f=1)
3 risolteSolo n pari validi | n pari ≥ 4 → Patta | n=2 Nero vince
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 2×8×1 | 1 vs 1 | 7 | ⚫ Nero | |
| 4×8×1 | 2 vs 2 | 101.000 | 🤝 Patta | |
| 6×8×1 | 3 vs 3 | 117,7M | 🤝 Patta |
8 Righe (f=2)(2 file di pedine)
1 risolte4×8×2 Patta
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 4×8×2 | 4 vs 4 | 188,5M | 🤝 Patta |
9 Righe
3 risolten dispari → Nero vince | n=4 Patta | Prima altezza ≥ 7 con dati completi
| Board | Pedine | Stati | Risultato | Note |
|---|---|---|---|---|
| 3×9×1 | 2 vs 2 | 36.928 | ⚫ Nero | |
| 4×9×1 | 2 vs 2 | 171.354 | 🤝 Patta | |
| 5×9×1 | 3 vs 3 | 85,5M | ⚫ Nero |
Pattern Trasversali
Osservazioni che emergono dal confronto tra altezze diverse.
Altezza Pari + f=1
Per h pari (4, 6, 8), solo colonne pari producono pedine uguali. Colonne dispari → pedine disuguali (N/A).
Tutte patte per n ≥ 4!
Altezza Dispari + f=1
Per h dispari (3, 5, 7, 9), tutte le colonne hanno pedine uguali. Per n dispari ≥ 5, il Nero vince sempre tranne per h=5.
h=5 è l’unica altezza dispari dove il Bianco vince (3 righe vuote = “punto dolce”)
Convergenza alla Patta
Per tutte le altezze, all’aumentare di n il risultato converge alla Patta. L’ampiezza smorza il vantaggio posizionale: su scacchiere abbastanza larghe, né il primo né il secondo giocatore possono forzare una vittoria.
Scacchiere 2×h×1
Le scacchiere minime (2 colonne) alternano: h dispari → Bianco, h pari → Nero. Un risultato puramente strutturale legato al numero di mosse disponibili nella configurazione più stretta.
Congetture Aperte
Risultati supportati da evidenza computazionale, in attesa di dimostrazione formale.
Vittoria Nero su n×3×1 dispari
Per ogni n dispari ≥ 3, la scacchiera n×3×1 è una vittoria forzata per il Nero.
Il Teorema della Prima Cattura dimostra che il Nero cattura e promuove a dama al primo turno, ottenendo 1 dama + vantaggio numerico. Questa superiorità strutturale è sufficiente per vincere in tutti i casi verificati.
Cosa manca: dimostrare che il vantaggio della prima cattura (dama + superiorità numerica) è sempre sufficiente per vincere su scacchiere arbitrariamente grandi (n → ∞).
Patta universale n×4×1 pari
Per ogni n pari ≥ 4, la scacchiera n×4×1 è una patta con gioco perfetto.
Esiste un programma costruttivo (400 righe Python, zero AI, zero minimax) che esegue una strategia meccanica basata su tre principi: sentinella (un pezzo a riga 1 blocca gli atterraggi delle catture), anti-collisione (evita di lasciare caselle vuote dove il Bianco atterra), e contro-imboscata (le dame nere contro-catturano gli imboscatori bianchi). Questo programma patta SEMPRE contro qualunque AI di qualunque potenza, su qualunque spazio combinatorio.
Punto chiave: un programma “stupido” che segue solo regole meccaniche (senza cercare nell’albero di gioco) è sufficiente per pattare. Questo suggerisce che la patta è un risultato strutturale, non accidentale.
Patta universale per n pari grande
Per ogni altezza h e file f=1, esiste un N(h) tale che per ogni n pari ≥ N(h), la scacchiera n×h×1 è una patta.
Cosa manca: costruzione esplicita della strategia di pareggio per altezze generiche. Per h=4, la strategia costruttiva è già disponibile (Congettura B).
Alternanza 2×h×1
Per ogni h ≥ 3, la scacchiera 2×h×1 è vinta dal Bianco se h è dispari, dal Nero se h è pari.
Direzione: con solo 2 colonne e 1 casella scura per riga, il gioco si riduce a un automa finito la cui parità di mosse determina il vincitore. Dimostrabile per induzione sulla posizione.
h=5 è l’UNICA eccezione: il Bianco vince solo lì
Per ogni altezza dispari h ≥ 3 e n dispari ≥ 5, il Nero vince… tranne per h=5, dove vince il Bianco. Le 3 righe vuote di h=5 sono il “punto dolce” dove il Bianco ha abbastanza spazio per manovrare ma non così tanto da diluire l’iniziativa.
Visione spaziale: con 1, 5 o 7 righe vuote lo spazio è troppo scarso o troppo abbondante per il Bianco. Solo con esattamente 3 righe vuote (h=5) il primo giocatore riesce a “colonizzare” il centro prima che il Nero organizzi la difesa.
Metodologia
BFS Completo
Enumerazione di tutti gli stati raggiungibili dalla posizione iniziale. Nessuno stato trascurato.
Analisi Retrograda
Propagazione dei risultati dagli stati terminali verso la posizione iniziale. Algoritmo esatto.
Regole FID Complete
Cattura obbligatoria, cattura massima, priorità dama, pedina non cattura dama, promozione con arresto.